平面直角坐标系*函数*1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、 第三象限、第四象限。 注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平 面内点的坐标是有序实数对，当 a ≠ b 时， （a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 3、不同位置的点的坐标的特征 ①各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 ? x > 0, y> 0 点 P(x,y)在第二象限 ? x < 0, y > 0点 P(x,y)在第三象限 ? x < 0, y < 0 点P(x,y)在第四象限 ? x > 0, y < 0 ②坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 ?y = 0 ，x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 ? x = 0 ，y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 ? x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0） ③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 ? x与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 ? x 与 y 互为相反数 ④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 ⑤关于 x 轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点 P与点 p’关于 x 轴对称 ? 横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点p’关于 y 轴对称 ? 纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于原点对称 ? 横、纵坐标均互为相反数 ⑥点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点 P(x,y)到x 轴的距离等于 y （2）点 P(x,y)到 y轴的距离等于 x （3）点 P(x,y)到原点的距离等于 x + y
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⑦对称性：若直角坐标系内一点 P（a，b） P 关于 x 轴对称的点为 P1（a，－b） 关于 y 轴对称的点为 P2（－a， ，则 ，P*b） ，关于原点对称的点为 P3（－a，－b）.*⑧坐标平移：若直角坐标系内一点 P（a，b）向左平移 h 个单位，坐标变为 P（a－h，b） ，向右平移 h 个单位，坐标 ；向上平移 h 个单位，坐标变为 P（a，b＋h） ，向下平移 h 个单位，坐标变为 P（a，b－h）.如：点 A变为 P（a＋h，b） （2，－1）向上平移 2 个单位，再向右平移 5 个单位，则坐标变为 A（7，
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1） 4、函数平移规律：左加右减、上加下减 左加右减、 左加右减*函数及其相关概念*1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量 x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。*一次函数和正比例函数 一次函数和正比例函数*1、一次函数的概念：一般地，如果 y= kx + b （k，b 是常数，k ≠ 0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地，当一次函数 y = kx + b 中的 b 为 0时， y = kx （k 为常数，k ≠ 0） 。这时，y 叫做 x 的正比例函数。 2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图像是经过点（0，b）的直线(b 是直线与 y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在 y 轴上 的截距)；正比例函数 y = kx 的图像是经过原点（0，0）的直线。 3、斜率：*y ?y k = tanα = 2 1 x2 ? x1*y P(x0 y0) d B(x2, y2) b a 0*A(x1, y1) y=kx+b*①直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0) ②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:*α*y ? y1 y = kx + b = (tan α ) x + b =2 x( x ? x1 ) + y1 x 2 ? x1
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③由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：④设两条直线分别为，l1 ： y = k 1 x+ b1*x*x y + =1 a b*l2 ： y = k 2 x + b 2 若*l1 ⊥ l 2 ? k 1 ? k 2 = ? 1*Y A*若 l 1 / / l 2 ，则有 l1 // l2 ? k1 = k 2且 b1 ≠ b 2 。 ⑤点 P（x0，y0）到直线 y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用 寻求解题方法） 如图：点 A 坐标为（x1，y1）点 B 坐标为（x2，y2） 则 AB 间的距离，即线段AB 的长度为*d=*kx0 ? y 0 + b k 2 + (?1) 2*=*kx0 ? y 0 + b k 2 +1*此方法拓展思路，以 X B*(x1 ? x2 )2 + (
[‘ 疯狂毕业生丨噬血丶于2011-10-19 23:49:48续贴]:
y1 ? y 2 )2*5、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 y = kx （k ≠ 0）中的常数 k。确定一个一次函数，需要确定一 次函数定义式 y = kx + b（k ≠ 0）中的常数 k 和 b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 6、（1）一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于 y轴。 （2）当 k>0 时，图象过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高） ； （3）当 k<0 时，图象过二、四象限，y 随x 的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低） ； （4）当 b>0 时，与 y 轴的交点（0，b）在正半轴；当b<0 时，与 y 轴的交点(0,b)在负半轴。当 b＝0 时，一次函 数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线（5）几条直线互相平行时 ，k 值相等而 b 不相等。*反比例函数*1、反比例函数的概念 一般地，函数 y=*量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，也可写成 xy=k(k 是常数，k≠0)反比例函数中，两个变量成反比例关系：由 xy=k，因为 k 为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以 y 与 x 成反比 变化，而正比例函数 y=kx(k≠0)是正比例关系：由 2、反比例函数 y=*k （k 是常数，k ≠ 0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 y= kx ?1 的形式。自变 x*y =k (k≠0)，因为 k 为不等于零的常数，两个变量的商是定值。 x*k (k≠0)的图象的画法 x*画图方法：描点法。*由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。一定要 注意：k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限。k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。(在每一象限内，从左向右上*升)．因此，它的增减性与一次函数相反．反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。 特点：y=*k =kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴ y≠0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。但无限靠近 x 轴、y x*轴。画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。 3、反比例函数的性质和图像 反比例 函数k 的符 号 y k>0*y=*k ( k ≠ 0) x*k<0*y*图像*O*x*O*x*性质*①x 的取值范围是 x ≠ 0， y 的取值范围是 y ≠ 0； ②当 k>0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。*①x 的取值范围是 x ≠ 0， y 的取值范围是 y ≠ 0； ②当 k<0 时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。*4、反比例函数解析式的确定 确定的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 y = 一个点的坐
[‘ 疯狂毕业生丨噬血丶于2011-10-19 23:50:04续贴]:
标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何的意义 如下图，过反比例函数y =*k 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的 x*k (k ≠ 0) 图像上任一点 P 作 x 轴、y轴的垂线 PM，PN，则所得的矩形PMON 的面积 x*S=PM ? PN= y ? x = xy Q y = 二次函数*k , ∴ xy = k , S = k x*1、二次函数的概念：一般地，如果 y= ax 2 + bx + c( a, b, c是常数，a ≠0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数。*y = ax 2 + bx + c(a, b, c是常数，a ≠0) 叫做二次函数的一般式。*2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于 x = ?*b 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a*3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线 y = ax 2 + bx + c 与坐标轴的交点： 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个 点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与 x 轴只有一个或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二 次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法*（1）公式法： y = ax + bx + c = a? x+*2*? ?*b 4ac ? b 2 b b ? 4ac ? b 2 + ，∴顶点是 ? （ ， ） ，对称轴是直线 x = ? ?2a 4a 2a 2a ? 4a*2*2*（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y = a ( x ? h ) + k的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线*x = h.*（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线 上两点 ( x1 , y )、 2 , y ) （及 y值相同） (x ，则对称轴方程可以表示为： x = 5.抛物线 y = ax 2 + bx + c
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中， a, b, c 的作用 （1） a 决定开口方向及开口大小①当 a > 0 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当 a < 0时，抛物线开口向下；顶 点为其最高点。 a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. a 越大，图像开口越小， a 越小，图像开口越大。 ② 平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x = h .特别地， y 轴记作直线 x = 0 . （2） b 和 a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的对称轴是直线 x = ? 故：① b = 0 时，对称轴为 y轴； ③ ②*x1 + x2 2*b ， 2a*b > 0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧； a*b < 0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧. a*（3） c 的大小决定抛物线 y =
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ax 2 + bx + c 与 y 轴交点的位置.当 x= 0 时， y = c ，∴抛物线 y = ax 2 +bx + c 与 y 轴 有且只有一个交点（0， c ） ：① c = 0 ，抛物线经过原点; ② c > 0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c< 0 ,与 y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 6、二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式： y = ax 2 + bx + c( a, b, c是常数，a ≠ 0) （2）顶点式： y = a ( x ?h) 2 + k ( a, h, k是常数，a ≠ 0) （3）交点式：当抛物线 y = ax 2 + bx + c与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax + bx + c = 0 有实根 x1 和 x 2 存在*2*b < 0. a*时 ， 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因式 ax 2 + bx + c = a ( x ? x1 )( x ? x 2) ， 二 次 函 数 y = ax 2 + bx + c 可转 化 为 两 根 式*y = a( x ? x1 )( x ? x 2 ) 。如果没有交点，则不能这样表示。几种特殊的二次函数的图像特征如下：*函数解析式 开口方向 当a > 0时 开口向上 当a < 0时 开口向下 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k ) ( h ,0) (h,k )*y = ax 2 y = ax 2 + k y = a(x ? h )*2*x = 0 （ y 轴） x = 0 （ y 轴） x=hx=h x=? b 2a*y = a(x ? h ) + k*2*y = ax 2 + bx + c*y = a( x + b 2 4ac ? b2 ) + 2a 4a*(?*b 4ac ? b 2 ， ) 2a 4a*7、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数， 那么函数在顶点处取得最大值 （或最小值）即当 x =? ， 如果自变量的取值范围是 x1 ≤ x≤ x 2 ，那么，首先要看 ? 则当 x= ?*b 4ac ? b 2 时， 最值 = y 。 2a 4a*b 是否在自变量取值范围 x1 ≤ x ≤ x2 内，若在此范围内， 2a*b 4ac ? b 2 时， y 最值 = ；若不在此范围内，则需要考虑函数在 x1 ≤ x ≤
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x 2 范围内的增减性，如果在此范围 2a4a*2 2*内，y 随 x 的增大而增大，则当 x = x2 时， y 最大 = ax 2 + bx 2 + c ，当x = x1 时， y 最小 = ax1 + bx1 + c；如果在此范围 内，y 随 x 的增大而减小，则当 x = x1 时， y 最大 = ax1+ bx1 + c ，当 x = x 2 时， y 最小 =ax 2 + bx 2 + c 。*2 2*8、二次函数的图象 函数 二次函数 y= ax 2 + bx + c( a, b, c是常数，a ≠0) a>0 y y a<0*图像*0*x*0 1 （2）对称轴是 x= ? 顶点坐标是（?*x*（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是 x= ? 顶点坐标是（ ?*（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；*b ， 2a*b ， 2a*b 4ac ? b 2 ， ） ； 2a 4a*b 4ac ? b 2 ， ） ； 2a 4a*（3）在对称轴的左侧，即当 x< ? 性质*b b 时，y 随 x （3）在对称轴的左侧，即当 x< ? 时，y 随 x 2a 2a*的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x> ?*的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x> ?*b 时，y 随 x 的增大而增大，简记左减2a*b 时，y 随 x 的增大而减小，简记左 2a*右增； （4）抛物线有最低点，
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当 x= ?*增右减；*b b 时，y 有最小 （4）抛物线有最高点，当 x= ? 时，y 有最 2a 2a*大值， y 最大值*值， y 最小值 9. 抛物线的交点*4ac ? b 2 = 4a*4ac ? b 2 = 4a*2 （1） y 轴与抛物线 y = ax + bx + c得交点为(0, c ).*（2）抛物线与 x 轴的交点：二次函数y = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x 2 ，是对应一元二次方 程 ax + bx + c = 0 的 两 个实 数 根 . 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 情况 可 以 由 对 应 的 一 元 二 次 方 程的 根 的 判 别 式*2*? = b 2 ? 4ac 判定：*①有两个交点 ? ( ? > 0 ) ? 抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在 x轴上） ? ( ? = 0 ) ? 抛物线与 x 轴相切； ③没有交点 ? ( ? < 0 ) ? 抛物线与 x 轴相离. （3）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同（2）一样可能有 0个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐 标是 ax + bx + c= k 的两个实数根.*2*（ 4 ） 一 次 函 数 y = kx + n(k ≠ 0)的 图 像 l 与 二 次 函 数 y = ax 2 + bx+ c(a ≠ 0 ) 的 图 像 G 的 交 点 ， 由方 程 组*y = kx + n y = ax 2 + bx + c*的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 ? l 与 G 有两个交点; ②方程组只有一组解时*? l 与 G 只有一个交点；③方程组无解时 ? l 与 G 没有交点.*反比例函数 y=*2 k ( k ≠ 0) 的 图 像 与 二 次 函 数 y= ax + bx + c(a ≠ 0) 的 图 像 的 交点 ， 由 方 程 组 x*k ? ?y = x ? ? y = ax 2 + bx + c ?*的解来确定。*0 0 （5）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y = ax 2 + bx + c 与x 轴两交点为 A( x1，)，B( x 2，) ，由于 x1 、 x 2 是*方程 ax + bx + c = 0 的两个根，故x1 + x 2 = ?*
[‘ 疯狂毕业生丨噬血丶于2011-10-19 23:52:13续贴]:
2*b c , x1 ? x 2 = a a*2*b 2 4c b 2 ? 4ac ? AB = x1 ? x2 =（x1 ? x2） = （x1 + x2） ? 4 x1 x2 =（ ? ） ? = = a a a a*2